A születésnap paradoxon és más furcsaságok – 4 érdekes matematikai igazság, amit nem akarsz elhinni

Írta: ,

Lehet szeretni vagy nem szeretni, a matematika tele van érdekes gondolatokkal, főleg, ha továbblátunk annál, hogy össze tudsz-e adni fejben négy jegyű számokat. Az alábbi fejtegetésektől például lehet, hogy az ember magát az életet is átértékeli.

A születésnap paradoxon Kép forrása: .shock/depositphotos

1/4 A születésnap paradoxon

A születésnapunkra szeretünk úgy gondolni, mint valami igazán egyedi, hozzánk tartozó dologra, és nagy meglepetéssel szoktuk felfedezni, ha valakinek ugyanazon a napon van a szülinapja, mint a miénk. Pedig ennek az esélye nem is olyan kicsi, sőt mondhatni megdöbbentően nagy:

ha egy szobában 23-an tartózkodnak, akkor már 50% az esély arra, hogy lesznek közöttük ketten, akik ha nem is ugyanabban az évben, de ugyanabban a hónapban, ugyanazon a napon születtek. Ha 58-an vannak a szobában, akkor ennek az esélye már 99%!

A jelenség egyébként szigorú értelemben véve nem paradoxon, csak azért kapta a nevet, illetve azért vált így ismertté, mert ellentmond annak, amit a legtöbben az elképzeléseink alapján feltételeznénk. A valószínűséget azonban a megszokott a valószínűségszámításra használatos, megszokott matematikai módszerrel le lehet vezetni, azaz ilyen értelemben egyáltalán nem mond ellent a logika feltételeinek.

Érdekességkén még megjegyezzük, hogy bár elméletben az év minden napján ugyanakkora valószínűséggel születnek csecsemők, a valóság mégsem ezt mutatja: a Harvard Egyetem kutatásai szerint a ’70-es és ’90-es évek között szeptember 16-án született a legtöbb csecsemő.

A Monty-Hall probléma

2/4 A Monty-Hall probléma

A jelenség egy, az Egyesüt Államokban népszerű televíziós játék műsorvezetőjéről kapta a nevét. A játék végén a játékos három ajtó előtt áll, amelyből az egyik mögött egy új autó, kettő mögött pedig egy-egy kecske van.

A játékos választ egy ajtót, majd a másik két ajtó közül a műsorvezető kinyitja azt, ami mögött az egyik kecske áll. A játékos előtt két csukott ajtó marad, az egyik mögött egy autó, a másik mögött a kecske.

A játékos ekkor dönthet úgy, hogy a már kiválasztott ajtónál marad, vagy a másik, zárva lévő ajtót választja.

A játék szabályai szerint egyébként nincs a játékosnak ilyen jelensége, ezt később, a probléma kedvéért vetette fel valaki, és terjedt el így a köztudatban. A gondolkodókat sokáig foglalkoztatta a jelenség, hogy érdemes-e ekkor megváltoztatni a döntést, illetve hogy egyáltalán számít-e ez valamit.

A meglepő válasz az, hogy igen, számít, és érdemes változtatni. Hogy miért?

A bonyolult matematikai kérdést nagyon leegyszerűsítve arról van szó, hogy amikor a játékos először, három ajtó közül választ, 1/3-ad az esélye a nyerésre, és 2/3 az esélye annak, hogy az autó valamelyik másik ajtó mögött van, tehát valószínűbb, hogy a maradék két ajtó között van a „jó” ajtó. Amikor a két másik ajtóból a műsorvezető kinyit egyet, a két esélyes ajtóból egy kiesik, tehát már 2/3 az esélye annak, hogy a másik ajtó mögött áll az autó.

A józan ész logikájával a legtöbb ember tehát úgy gondolhatja, hogy mindegy, cserél-e ajtót vagy sem, 50-50% az esélye annak, hogy autót vagy kecskét választ, a valószínűségszámítás szabályai viszont más mondanak – a nagy számok törvénye szerint pedig többször fog működni a váltás, mint ahányszor nem.

Ugyanannyi páros szám van, mint természetes szám

3/4 Ugyanannyi páros szám van, mint természetes szám

A természetes számok (vagyis azok a számok, amiket „meg tudsz számolni”, az 1, 2, 3, 4, 1258641, stb.) sora végtelen, ezt már az iskolában is megtanultuk, tiszta sor. Akkor hogy lehet, hogy páros számból éppen ugyanannyi van, mint természetes számból?

Természetesen a kérdést lezárhatjuk azzal, hogy ez is, az is végtelen, de van egy ennél sokkal érdekesebb gondolatmenet is: minden páros szám egy másik szám duplája. Minden természetes számnak van kétszerese – ez a duplája, ami egy páros szám.

Azaz minden páros számhoz hozzárendelhető egy természetes szám, ami az ő fele, és fordítva. Ez pedig azt bizonyítja, hogy pontosan ugyanannyi páros számnak kell lennie, mint ahány természetes szám van.

Zénón paradoxonja

4/4 Zénón paradoxonja

Arisztotelész Fizika című művében maradt fent Zénón nyolc paradoxonja, melyeket azért talált ki, hogy rámutasson: érzékeink, benyomásaink, tapasztalataink sokszor hajlamosak lehetnek tévútra vinni bennünket.

Az egyik paradoxon leírásában Zénón nyolc lábra áll egy fától, és elhajít egy követ, neki a fa törzsének. Míg a kő repül, megteszi a távolság felét, azaz négy lábat. Ez után meg kell tennie a fennmaradó távolság felét, azaz két lábat. Majd ismét a távolság felét, és ismét a fennmaradó távolság felét, és így tovább.

Mivel mindig, mindegyik távhoz időre van szüksége, és mert mindig a fennmaradó távolság felét kell megtennie – ami ugyan egyre kisebb lesz, de sosem fogy el, hiszen minden távolságnak van fele – a kőnek sohasem szabadna elérnie a fát.

A gondolatmenet teljesen helytálló, sehol nincs benne hiba, mégis tudjuk, hogy ha eldobjuk a követ, a valóságban el fogja találni a fát, ami Zénón gondolatait követve egy logikai ellentmondás, azaz paradoxon. És hogy mihez kezdjen ezzel a ténnyel az, aki nem matematikus vagy elméleti fizikus?

Talán vonja le belőle azt a következtetést, hogy az általunk felfogott valóság tele van csodákkal és rejtélyekkel – még akkor is, ha csak egy olyan egyszerű dologról van szó, mint egy kő elhajítása.