A születésnap paradoxon és más furcsaságok – 4 érdekes matematikai igazság, amit nem akarsz elhinni

Írta: ,

Lehet szeretni vagy nem szeretni, a matematika tele van érdekes gondolatokkal, főleg, ha továbblátunk annál, hogy össze tudsz-e adni fejben négy jegyű számokat. Az alábbi fejtegetésektől például lehet, hogy az ember magát az életet is átértékeli.

A születésnap paradoxon Kép forrása: .shock/depositphotos

A születésnapunkra szeretünk úgy gondolni, mint valami igazán egyedi, hozzánk tartozó dologra, és nagy meglepetéssel szoktuk felfedezni, ha valakinek ugyanazon a napon van a szülinapja, mint a miénk. Pedig ennek az esélye nem is olyan kicsi, sőt mondhatni megdöbbentően nagy:

ha egy szobában 23-an tartózkodnak, akkor már 50% az esély arra, hogy lesznek közöttük ketten, akik ha nem is ugyanabban az évben, de ugyanabban a hónapban, ugyanazon a napon születtek. Ha 58-an vannak a szobában, akkor ennek az esélye már 99%!

A jelenség egyébként szigorú értelemben véve nem paradoxon, csak azért kapta a nevet, illetve azért vált így ismertté, mert ellentmond annak, amit a legtöbben az elképzeléseink alapján feltételeznénk. A valószínűséget azonban a megszokott a valószínűségszámításra használatos, megszokott matematikai módszerrel le lehet vezetni, azaz ilyen értelemben egyáltalán nem mond ellent a logika feltételeinek.

Érdekességkén még megjegyezzük, hogy bár elméletben az év minden napján ugyanakkora valószínűséggel születnek csecsemők, a valóság mégsem ezt mutatja: a Harvard Egyetem kutatásai szerint a ’70-es és ’90-es évek között szeptember 16-án született a legtöbb csecsemő.

A Monty-Hall probléma

A jelenség egy, az Egyesüt Államokban népszerű televíziós játék műsorvezetőjéről kapta a nevét. A játék végén a játékos három ajtó előtt áll, amelyből az egyik mögött egy új autó, kettő mögött pedig egy-egy kecske van.

A játékos választ egy ajtót, majd a másik két ajtó közül a műsorvezető kinyitja azt, ami mögött az egyik kecske áll. A játékos előtt két csukott ajtó marad, az egyik mögött egy autó, a másik mögött a kecske.

A játékos ekkor dönthet úgy, hogy a már kiválasztott ajtónál marad, vagy a másik, zárva lévő ajtót választja.

A játék szabályai szerint egyébként nincs a játékosnak ilyen jelensége, ezt később, a probléma kedvéért vetette fel valaki, és terjedt el így a köztudatban. A gondolkodókat sokáig foglalkoztatta a jelenség, hogy érdemes-e ekkor megváltoztatni a döntést, illetve hogy egyáltalán számít-e ez valamit.

A meglepő válasz az, hogy igen, számít, és érdemes változtatni. Hogy miért?

A bonyolult matematikai kérdést nagyon leegyszerűsítve arról van szó, hogy amikor a játékos először, három ajtó közül választ, 1/3-ad az esélye a nyerésre, és 2/3 az esélye annak, hogy az autó valamelyik másik ajtó mögött van, tehát valószínűbb, hogy a maradék két ajtó között van a „jó” ajtó. Amikor a két másik ajtóból a műsorvezető kinyit egyet, a két esélyes ajtóból egy kiesik, tehát már 2/3 az esélye annak, hogy a másik ajtó mögött áll az autó.

A józan ész logikájával a legtöbb ember tehát úgy gondolhatja, hogy mindegy, cserél-e ajtót vagy sem, 50-50% az esélye annak, hogy autót vagy kecskét választ, a valószínűségszámítás szabályai viszont más mondanak – a nagy számok törvénye szerint pedig többször fog működni a váltás, mint ahányszor nem.